Couper les courges spaghetti en deux, mettre un filet d'huile d'olive à l'ail ainsi que de l'estragon frais et mettre au four à 180 °C (350 °F) pendant environ 45 minutes.
Pendant ce temps, hacher finement les gousses d'ail et les olives de Gaeta ainsi que le chili.
Dans une grande poêle, chauffer le beurre et l'huile à feu doux.
Incorporer l'ail, toujours à feu doux et laisser environ 1 minute.
Ajouter les anchois en les écrasant doucement avec une cuillère en bois sans les faire cuire.
Ajouter ensuite les olives, les câpres et le chili et laisser cuire pendant environ 3 minutes, toujours à feu doux.
Pendant ce temps, écraser au pilon les tomates et le mélange d'épices provençales et l'ajouter au mélange pour poursuivre la cuisson pendant 7 minutes.
Retirer du feu, assaisonner et laisser reposer.
Augmenter la température du four à 230 °C (450 °F) pour y mettre la morue badigeonnée d'huile et de citron et laisser cuire à découvert pendant environ 10 minutes.
Pendant ce temps, gratter doucement l'intérieur des courges spaghetti pour bien en retirer toute la chair.
Après environ 5 minutes de cuisson, déposer en petits tas le fromage râpé sur une plaque et mettre au four pour le reste de la cuisson.
Déposer la chaire de courge pour faire un nid au fond de l'assiette et recouvrir de sauce puttanesca.
Déposer la morue directement sur la sauce et recouvrir du chip de parmesan et cheddar vieilli.
Servir et déguster !